Álgebra cognitiva

Álgebra cognitiva. A palavra “álgebra” é tomada aqui ligeiramente de forma metafórica. Quando um autor escreve “Nós temos” ou “Um tem”, como em “Temos um ou outro R_I (p, o) = ∅, ou R_I (p, o) ≠ ∅”, quem é “um” ou “nós”? Mais especificamente, quando o autor escreve “Nós temos R (î, o) ≠ ∅”, “nós” é necessariamente alguma instância pessoal ou institucional ĵ (claro que ĵ pode ser o autor). Isso é denotado por ĵ ⊦ R (î, o) ≠ ∅, e, mais geralmente, por ĵ ⊦ ϑ, onde ϑ é qualquer frase. A afirmação ĵ ⊦ ϑ deve ser lida “a instância ĵ julga que ϑ [é verdadeira]”. (O símbolo ⊦ utilizado como o “caractere de asserção” Unicode). Outra instância k̂ pode julgar que ϑ não é verdadeiro, ou seja, k̂ ⊦ ¬ ϑ. Não há geralmente acordo, mas desacordo entre as diferentes instâncias. Este é um aspecto da relatividade cognitiva – como regra geral, os casos “não pensam da mesma forma”. Tudo isso pode ser facilmente generalizado. A declaração k̂ ⊦ (ĵ ⊦ R (î, o) ≠ ∅) significa, por exemplo, que, de acordo com a instância k̂ , a instância ĵ pensa que î conhece o objeto o. Da mesma forma, se uma pessoa x₀ afirma “Dizem que a pessoa x₁ conhece a pessoa x₂”, devemos escrever: x₀ ⊦ ∃ î (î ⊦ R (x₁, x₂) ≠ ∅), onde a instância î representa “eles”. O fato de que ĵ ⊦ R (î, o) ≠ ∅ (ou, também, que ĵ ⊦ R (î, o) = ∅) nos diz algo sobre a relação R (ĵ, R (î, o)), i. e, sobre a relação de ĵ com a relação de î com o. O fato de que k̂ ⊦ (ĵ ⊦ R (î, o) ≠ ∅) nos informa sobre R (k̂ , R (ĵ, R (î, o))), ou seja, sobre a relação de k̂ para a relação de ĵ para a relação de î para o, etc.

Cognitive algebra. The word “algebra” is taken here slightly metaphorically. When an author writes “We have” or “One has”, as in “We have either R_I(p, o) = ∅, or R_I(p, o) ≠ ∅”, who is the “one” or the “we”? More specifically, when the author writes “We have R(î, o) ≠ ∅”, the “we” is necessarily some personal or institutional instance ĵ (of course ĵ may be the author). This is denoted by ĵ ⊦ R(î, o) ≠ ∅, and, more generally, by ĵ ⊦ ϑ, where ϑ is any sentence. The statement ĵ ⊦ ϑ is to be read “the instance ĵ judges that ϑ [is true]”. (The symbol ⊦ used here is the Unicode “assertion character”.) Another instance k̂ may judge that ϑ is not true, i.e., k̂ ⊦ ¬ϑ. There is not generally agreement but disagreement between different instances. This is an aspect of cognitive relativity—as a general rule, instances “do not think alike”. All this can be easily generalised. The statement k̂ ⊦ (ĵ ⊦ R(î, o) ≠ ∅) means, for example, that, according to the instance k̂, the instance ĵ thinks that the î knows the object o. Likewise, if a person x₀ asserts “They say that the person x₁ knows the person x₂”, we shall write : x₀ ⊦ ∃ î (î ⊦ R(x₁, x₂) ≠ ∅), where the instance î stands for “they”. The fact that ĵ ⊦ R(î, o) ≠ ∅ (or, as well, that ĵ ⊦ R(î, o) = ∅) tells us something about the relation R(ĵ, R(î, o)), i.e., about the relation of ĵ to the relation of î to o. The fact that k̂ ⊦ (ĵ ⊦ R(î, o) ≠ ∅) informs us about R(k̂, R(ĵ, R(î, o))), i.e., about the relation of k̂ to the relation of ĵ to the relation of î to o, etc.

BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y. A short (and somewhat subjective) glossary of the ATD. In: BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y.; GARCÍA, F. J.; MONAGHAN, J. (Org.). Working whith the Anthropological Theory of the Didatic in Mathematics Eduction: a comprehensive casebook. London and New York. Routledge: Taylor & Francis Group, p. 19-38, 2020.